謝宗翰的隨筆 | 全台合法動物醫院

2011年5月21日—前幾日我在清華大學動機系教授-彭明輝老師BLOG上讀到一篇文章，對於...原文出處:台、清、交大羞於告人的「卓越」秘密-清大彭明輝BLOG ...

延續前篇，這次要介紹的是 Discrete Time Linear Quadratic Regulator in Infinite Horizon 或稱 Steady State LQR。 ================ LQR Problem (Infinite Horizon LQR)： 考慮離散狀態方程： [ x(k+1) = A x(k) + B u(k) ]其中 $x(k) in mathbb{R}n, Ain mathbb{R}{n imes n}, B in mathbb{R}{n imes m}, u(k) in mathbb{R}{m imes 1}$且 $(A,B)$ controllable。 定義 Performance index： [ J(u) = displaystyle sum_{k=0}{infty} xT(k+1) Q x(k+1) + uT(k) R u(k) ] 其中 $Q, R$ 必須滿足 $QT = Q, Q succ 0$， $RT = R, R succ 0$。 (亦即 $Q, R$ 必須為  對稱 + 正定  矩陣) 試求出一組最佳控制力序列 $u*$ 使得成本函數 $J(u)$ 最小。 ================ Comment: 讀者須注意到 Infinite Horizon 的 LQR問題要求計算 Performance index 為無窮級數和，此解必須保證收斂。以下定理告訴我們何時 此 Performance index 收斂 Lemma 考慮離散系統 $x(k+1) = A x(k) + B u(k)$，若 $(A,B)$ 可控制，且選 $Q, R >0$ 為正定矩陣，則上述 infinite horizon LQR 問題保證 閉迴路系統 狀態收斂到 $0$ 且 cost 為有界。 Proof: omitted. (see J. B. Rawlings and D. Q. ...